Álgebra: Conceptos básicos

Definición de Álgebra

El álgebra es esencialmente una extensión de la aritmética, y al igual que esta, utiliza una serie de signos básicos que permiten hacer operaciones matemáticas; sin embargo, la diferencia principal, radica en que el álgebra utiliza paralelamente expresiones literales (letras) las cuales se usan para realizar generalizaciones a través de fórmulas. Por ejemplo:

En esta ecuación se puede establecer como patrón general que siempre y cuando a y b sean números enteros positivos, x será TAMBIÉN un número entero positivo. Esto se irá explicando mejor (y entendiendo más a fondo) conforme avancemos en la complejidad de los conceptos y los ejercicios. Por lo pronto solo interesa saber que en el álgebra se trabajan con números, signos y letras, con los cuales se muestran expresiones que implican generalizaciones o fórmulas matemáticas.

Notación Algebraica

La notación algebraica hace referencia a todos y cada uno de los símbolos que son utilizados para representar las cantidades numéricas y no numéricas (letras). Los números se emplean para determinar las cantidades conocidas, mientras que las letras se utilizan para simbolizar tanto cantidades conocidas o desconocidas.

Signos del Álgebra

Son los mismos que se utilizan en la aritmética, es decir más, menos, multiplicación, división, elevación a la potencia, extracción de raíces. Sin embargo, en álgebra hay que tener en cuenta una serie de consideraciones especiales para resolver los diferentes tipos ejercicios.

Con respecto a la Suma y la Resta: Todos los números que no llevan el signo negativo delante, se entiende que son números positivos, por tanto:

Con respecto a la Multiplicación: Dado que el álgebra trabaja con letras, y en la aritmética el signo de multiplicación se reconoce por una x, para evitar confusiones, se coloca un punto (o asterisco) en lugar del signo x. De otra forma tendríamos confusión al expresar operaciones como esta:

Como se aprecia genera algo de confusión, ya que el signo de la mitad no es una equis, sino un signo por, es así que resulta necesario reemplazar ese signo con otra alternativa:

De igual forma, cuando se hacen operaciones de multiplicación entre dos letras, puede omitirse el punto o asterisco, quedando la expresión como sigue:

Con respecto a la División: En álgebra poco se usa el signo de la división, este es reemplazado por una raya diagonal, o horizontal, la cual divide al dividendo del divisor, así:

Por lo pronto es todo lo que necesitamos saber. Más adelante, conforme se avance en la complejidad y se profundice en ciertos temas, se darán mayores explicaciones.

Signos de Agrupación

Estos signos, son los que se utilizan para ordenar (visualmente) una expresión algebraica, lo cual facilita enormemente la resolución de las operaciones. Las operaciones siempre se resuelven en un orden específico: Primero lo que está dentro de los paréntesis ( ), luego lo que va dentro de los corchetes [ ], posteriormente se resuelve lo que va dentro de las llaves [ ], y de ahí en adelante pueden utilizarse comillas < > u otro signo de agrupación, lo importante es tener en cuenta que los ejercicios se resuelven siempre haciendo las operaciones que están más "adentro" de la expresión algebraica.

Esto se apreciará mejor conforme vallamos desarrollando más y más ejercicios. En el siguiente documento realizaremos los primeros problemas (muy sencillos) de álgebra, donde estudiaremos operaciones simples de suma y la resta.

Si el lector necesita profundizar en algún tema, o si necesita entender algún ejercicio en particular, puede colocarlo en la caja de comentarios. A continuación dejo una serie de ejercicios básicos de álgebra (suma y resta) las respuestas las encontrarán en posteriores documentos, son ejercicios muy sencillos así que pueden intentar realizarlos, y posteriormente confrontarlos con el resultado que me dio a mí.

Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas

Situaciones económicas:

Ejercicio 1:

Si un hombre cobra $130, luego paga una deuda de $80 y posteriormente hace una compra a crédito por valor de $95. ¿Cuánto dinero le queda?

Ejercicio 2:

Raúl inicialmente debía $60 y recibe $320. ¿Cuál es su estado económico luego de pagar la deuda?

Ejercicio 3:

Marcos tenía $1.170 e hizo una compra a crédito por valor de $1.515. ¿Cuál es su estado económico?

Ejercicio 4:

Jair tenía $200, luego cobra $56 y posteriormente paga sus deudas las cuales ascendían a $189 ¿Con cuánto dinero quedó Jair?

Ejercicio 5:

Marta compra ropa por valor de $665 y alimentos por valor de $1.178. Luego recibe $2.280. ¿Cuál es su actual estado económico?

Ejercicio 6:

Roberto tenía $20, paga $15 que debía y después cobra $40, para posteriormente gastar $75. ¿Cuánto le queda?

Ejercicio 7:

Milena hace una compra por $67; después recibe $72; hace una compra por $16, para finalmente recibir $2. ¿Cuál es su estado económico?

Ejercicio 8:

Alejandra recibe $200, luego hace tres gastos así: Primero gasta $78, luego $81 y después $93. Posteriormente recibe $41 y finalmente gasta $59. ¿Cuánto le quedó a Alejandra?

Ejercicio 9:

José tenía tres deudas, de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $200 para luego hacer un gasto de $10 ¿Cuánto tiene?

Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas

Temperaturas:

Ejercicio 10:

A las 6 am el termómetro marca - 4°. A las 9 am ha subido 7° y desde esta hora hasta las 5 pm ha bajado 11°. ¿Cuál es la temperatura que se marcaba a las 5 pm?

Ejercicio 11:

A las 9 am el termómetro marca +12° y desde esa hora hasta las 8 pm la temperatura ha bajado 15°. ¿Qué temperatura hay a las 8 pm?

Ejercicio 12:

A las 6 am el termómetro marca - 3° a las 10 am la temperatura sube 8° y desde las 10 am hasta las 9 pm la temperatura baja 6°. ¿Cuál es la temperatura a las 9 pm?

Ejercicio 13:

A la 1 pm el termómetro marca +15° y a las 10 pm marca - 3°. ¿Cuantos grados descendió la temperatura?

Ejercicio 14:

A las 3 am el termómetro marca - 8° y al medio día +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura?

Ejercicio 15:

A las 8 am el termómetro marca 4°; a las 9 am ha subido 7°; a las 4 pm ha subido 2° más y a las 11 pm ha bajado 11°. ¿Cuál será la temperatura a las 11 de la noche?

Ejercicio 17:

A las 6 de la mañana el termómetro marca - 8°. Desde las 6 am hasta las 11 am sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 am, a las 8 am y a las 11 am.

Ejercicio 18:

A las 8 am el termómetro marca - 1°. De 8 am a las 11 am baja a razón de 2° por hora y desde las 11 am hasta las 2 pm, sube a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 10 am, a las 11 am, a las 12 am y a las 2 pm.

Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas

Distancias:

Ejercicio 19:

Un móvil recorre 40 metros en línea recta a la derecha de un punto A y luego retrocede en la misma dirección a razón de 15 metros por segundo. Expresar a que distancia se halla del punto A al cabo del 1°, del 2°, del 3° y del 4° segundo.

Ejercicio 20:

Después de caminar 50 metros a la derecha del punto A, Juan recorre en sentido contrario 85 metros. ¿A qué distancia se halla Juan del punto A en este momento?

Ejercicio 21:

Si alguien corre a la izquierda del punto B a razón de 6 metros por segundo, ¿A qué distancia de B se hallará al cabo de 11 segundos?

Ejercicio 22:

Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos, el que corre hacia la izquierda de A va a 8 metros por segundo y el que corre hacia la derecha va a 9 metros por segundo. Expresar las distancias de cada uno de los corredores luego de 6 segundos.

Ejercicio 23:

Partiendo de la línea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas a una pista de 400 metros de longitud. Si Pedro parte del mismo punto y da tres vueltas a la pista en sentido contrario, ¿Qué distancia habrán recorrido los dos corredores?

Ejercicio 24:

Un móvil recorre 55 metros a la derecha del punto A y luego en la misma dirección retrocede 52 metros. ¿A qué distancia se halla el móvil del punto A?

Ejercicio 25:

Un móvil recorre 32 metros a la izquierda de un punto A y luego retrocede en la misma dirección 15 metros. ¿A qué distancia se halla el móvil del punto A?

Ejercicio 26:

Un móvil recorre 39 metros a la izquierda de M y luego retrocede en la misma dirección 56 metros. ¿A qué distancia se halla de M?

Ejercicio 27:

A partir del punto B una persona recorre 90 metros a la derecha y luego retrocede 58 metros en la misma dirección, y posteriormente sigue retrocediendo pero esta vez 36 metros. ¿A qué distancia se halla la persona del punto B?

Ejercicio 28:

Un móvil recorre 72 metros a la derecha de A y entonces empieza a retroceder en la misma dirección, a razón de 30 metros por segundo. ¿A qué distancia del punto A, se encuentra el móvil luego de que pasen 1, 2, 3 y 4 segundos?

Ejercicio 29:

Un auto recorre 120 kilómetros a la izquierda del punto M y luego retrocede a razón de 60 km por hora. ¿A qué distancia se halla del punto M luego de que pasó 1 hora? ¿Y luego de 2 horas? ¿Y de 3 horas? ¿Y de 4 horas?

Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas

Ubicación geográfica:

Ejercicio 30:

El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud (ubicación) este día.

Ejercicio 31:

El primero de febrero la ubicación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 de febrero ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces 5° más al sur. ¿Cuál será su ubicación el día 26 de febrero?

Ejercicio 32:

El 5 de mayo la ubicación geográfica de un barco es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 recorre 3° hacia el este y se acerca 4° al Ecuador. ¿Cuál es la ubicación el día 31 de mayo?

Cualquier duda o sugerencia:

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